此文为宗正宇老师在最后一节课所划六个重点的整理，权作期末预习(x)
求特征多项式和极小多项式
特征多项式
f ( λ ) = ∣ λ I − A ∣ f(\lambda)=\left|\lambda I-A\right| f ( λ ) = ∣ λ I − A ∣
极小多项式
方法 1
定理 7.4
极小多项式 m ( λ ) m(\lambda) m ( λ ) f ( λ ) f(\lambda) f ( λ )
一般来说考试涉及的矩阵并不复杂，维数也较小，因此可以根据定理 7.4，从小到大尝试f ( λ ) f(\lambda) f ( λ ) a ( λ ) a(\lambda) a ( λ ) a ( A ) = O a(A)=O a ( A ) = O
方法 2
求出矩阵A A A ( λ − λ i ) (\lambda-\lambda_i) ( λ − λ i ) m ( λ ) m(\lambda) m ( λ ) λ i \lambda_i λ i
计算复方阵的 Jordan 标准型及可逆矩阵 P
Jordan 标准型计算
方法 1
求出特征多项式f ( λ ) f(\lambda) f ( λ )
则λ i \lambda_i λ i r i = n − r a n k ( A − λ i I ) r_i=n-rank(A-\lambda_iI) r i = n − r ank ( A − λ i I ) f ( λ ) f(\lambda) f ( λ ) ( λ − λ i ) (\lambda-\lambda_i) ( λ − λ i )
阶数为t t t r i ( t ) = r a n k ( A − λ i I ) t + 1 + r a n k ( A − λ i I ) t − 1 − 2 r a n k ( A − λ i I ) t r_i(t)=rank(A-\lambda_iI)^{t+1}+rank(A-\lambda_iI)^{t-1}-2rank(A-\lambda_iI)^t r i ( t ) = r ank ( A − λ i I ) t + 1 + r ank ( A − λ i I ) t − 1 − 2 r ank ( A − λ i I ) t
解释：注意到r a n k ( A − λ i I ) m rank(A-\lambda_iI)^m r ank ( A − λ i I ) m m m m λ i \lambda_i λ i r a n k ( A − λ i I ) m − r a n k ( A − λ i I ) m + 1 rank(A-\lambda_iI)^m-rank(A-\lambda_iI)^{m+1} r ank ( A − λ i I ) m − r ank ( A − λ i I ) m + 1 m m m λ i \lambda_i λ i ( r a n k ( A − λ i I ) m − 1 − r a n k ( A − λ i I ) m ) − ( r a n k ( A − λ i I ) m − r a n k ( A − λ i I ) m + 1 ) \left(rank(A-\lambda_iI)^{m-1}-rank(A-\lambda_iI)^m\right)-\left(rank(A-\lambda_iI)^m-rank(A-\lambda_iI)^{m+1}\right) ( r ank ( A − λ i I ) m − 1 − r ank ( A − λ i I ) m ) − ( r ank ( A − λ i I ) m − r ank ( A − λ i I ) m + 1 ) m − 1 m-1 m − 1 λ i \lambda_i λ i m m m m m m
一些 tricks:由于考试涉及的 Jordan 块通常维数不大，而m ( λ i ) m(\lambda_i) m ( λ i ) λ i \lambda_i λ i 可以通过计算d i m K e r ( λ i I − A ) dim Ker(\lambda_iI-A) d im Ker ( λ i I − A ) λ i \lambda_i λ i K e r ( λ i I − A ) Ker(\lambda_iI-A) Ker ( λ i I − A ) 方法 2
求出A A A
J = [ J ( p 1 k 1 ) ⋱ J ( p s k s ) ]
J=\begin{bmatrix}J\left(p_1^{k_1}\right)&&\\&\ddots&\\&&J\left(p_s^{k_s}\right)\end{bmatrix}
J = J ( p 1 k 1 ) ⋱ J ( p s k s ) 注：该方阵称为第三种相似标准型，除此之外，还有第一类相似标准型（有理标准型）和第二类相似标准型（初等因子友阵型）:
C = [ C ( d 1 ) ⋱ C ( d r ) ] G = [ C ( p 1 k 1 ) ⋱ C ( p s k s ) ]
C=\begin{bmatrix}C\left(d_1\right)&&\\&\ddots&\\&&C\left(d_r\right)\end{bmatrix}\\G=\begin{bmatrix}C\left(p_1^{k_1}\right)&&\\&\ddots&\\&&C\left(p_s^{k_s}\right)\end{bmatrix}
C = C ( d 1 ) ⋱ C ( d r ) G = C ( p 1 k 1 ) ⋱ C ( p s k s ) 可逆矩阵 P 的求取
方法 1
求出K e r ( A − λ i I ) Ker(A-\lambda_iI) Ker ( A − λ i I ) λ i \lambda_i λ i 但是需要注意，并不是每个向量都可以形成阶数正确的 Jordan 块。譬如，设K e r ( A − λ i I ) Ker\left(A-\lambda_iI\right) Ker ( A − λ i I ) α 1 \alpha_1 α 1 α 2 \alpha_2 α 2 s α 1 + t α 2 s\alpha_1+t\alpha_2 s α 1 + t α 2 ( A − λ i I ) x = s α 1 + t α 2 \left(A-\lambda_iI\right)x=s\alpha_1+t\alpha_2 ( A − λ i I ) x = s α 1 + t α 2 [ A s α 1 + t α 2 ] \begin{bmatrix}A&s\alpha_1+t\alpha_2\end{bmatrix} [ A s α 1 + t α 2 ] 举一道例题，便于理解
问：求此复数域上方阵的 Jordan 标准型和可逆矩阵 P：
[ 1 − 3 0 3 − 2 − 6 0 13 0 − 3 1 3 − 1 − 4 0 8 ]
\begin{bmatrix}1&-3& 0&3\\-2&-6& 0&13\\0&-3& 1&3\\-1&-4& 0&8\\\end{bmatrix}
1 − 2 0 − 1 − 3 − 6 − 3 − 4 0 0 1 0 3 13 3 8 解：
有
f ( λ ) = ( λ − 1 ) 4 , m ( λ ) = ( λ − 1 ) 3
f(\lambda)=(\lambda-1)^4,\quad m(\lambda)=(\lambda-1)^3
f ( λ ) = ( λ − 1 ) 4 , m ( λ ) = ( λ − 1 ) 3 故 Jordan 标准型为
[ 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 ]
\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
1&1&0&0\\
0&1&1&0\\
0&0&0&1
\end{bmatrix}
1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 并且
K e r ( A − I ) = s p a n ( [ 3 1 0 1 ] , [ 0 0 1 0 ] )
Ker(A-I)=span\left(
\begin{bmatrix}3\\1\\0\\1\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}
\right)
Ker ( A − I ) = s p an 3 1 0 1 , 0 0 1 0 取
α 4 = [ 3 1 0 1 ] , α 3 = [ 3 s s t s ]
\alpha_4=\begin{bmatrix}3\\1\\0\\1\end{bmatrix},\quad
\alpha_3=\begin{bmatrix}3s\\s\\t\\s\end{bmatrix}
α 4 = 3 1 0 1 , α 3 = 3 s s t s 欲使 ( A − I ) α 2 = α 3 (A-I)\alpha_2=\alpha_3 ( A − I ) α 2 = α 3
[ 0 − 3 0 3 3 s − 2 − 7 0 13 s 0 − 3 0 3 t − 1 − 4 0 7 s ]
\begin{bmatrix}
0&-3&0&3&3s\\
-2&-7&0&13&s\\
0&-3&0&3&t\\
-1&-4&0&7&s
\end{bmatrix}
0 − 2 0 − 1 − 3 − 7 − 3 − 4 0 0 0 0 3 13 3 7 3 s s t s 可知 3 s = t 3s=t 3 s = t s = 1 s=1 s = 1
α 3 = [ 3 1 3 1 ] , α 2 = [ 3 u + 3 v − 1 0 0 ]
\alpha_3=\begin{bmatrix}3\\1\\3\\1\end{bmatrix},\quad
\alpha_2=\begin{bmatrix}3u+3\\v-1\\0\\0\end{bmatrix}
α 3 = 3 1 3 1 , α 2 = 3 u + 3 v − 1 0 0 再令 ( A − I ) α 1 = α 2 (A-I)\alpha_1=\alpha_2 ( A − I ) α 1 = α 2
[ 0 − 3 0 3 3 u + 3 − 2 − 7 0 13 u − 1 0 − 3 0 3 v − 1 − 4 0 7 w ]
\begin{bmatrix}
0&-3&0&3&3u+3\\
-2&-7&0&13&u-1\\
0&-3&0&3&v\\
-1&-4&0&7&w
\end{bmatrix}
0 − 2 0 − 1 − 3 − 7 − 3 − 4 0 0 0 0 3 13 3 7 3 u + 3 u − 1 v w 有 3 u + 3 = v , 2 w − v 3 = u − 1 3u+3=v,\ 2w-\frac{v}{3}=u-1 3 u + 3 = v , 2 w − 3 v = u − 1 u = 1 , v = 6 , w = 1 u=1,v=6,w=1 u = 1 , v = 6 , w = 1
α 2 = [ 6 0 6 1 ] , α 1 = [ 7 − 2 0 0 ]
\alpha_2=\begin{bmatrix}6\\0\\6\\1\end{bmatrix},\quad
\alpha_1=\begin{bmatrix}7\\-2\\0\\0\end{bmatrix}
α 2 = 6 0 6 1 , α 1 = 7 − 2 0 0 故知
P = [ 7 6 3 3 − 2 0 1 1 0 6 3 0 0 1 1 1 ]
P=\begin{bmatrix}
7&6&3&3\\
-2&0&1&1\\
0&6&3&0\\
0&1&1&1
\end{bmatrix}
P = 7 − 2 0 0 6 0 6 1 3 1 3 1 3 1 0 1 方法 2
由于λ I − A \lambda I-A λ I − A λ I − J \lambda I-J λ I − J P 1 − 1 ( λ I − A ) P 1 = P 2 − 1 ( λ I − J ) P 2 = S P_1^{-1}\left(\lambda I-A\right)P_1=P_2^{-1}\left(\lambda I-J\right)P_2=S P 1 − 1 ( λ I − A ) P 1 = P 2 − 1 ( λ I − J ) P 2 = S P = P 2 P 1 − 1 P=P_2P_1^{-1} P = P 2 P 1 − 1
lambda-矩阵对角化；初等因子、不变因子和 Jordan 标准型的关系
lambda-矩阵对角化
课本有详尽的算法。简而言之即是不断降低a 11 a_{11} a 11
初等因子、不变因子与 Jordan 标准型的关系
三种基本因子的概念
不变因子：Smith 标准型对角线上的所有非零元素：d 1 ( λ ) , … , d r ( λ ) d_1(\lambda),…,d_r(\lambda) d 1 ( λ ) , … , d r ( λ )
行列式因子：所有 k 阶非零子行列式的首 1 最大公因子：D 1 , … , D r D_1,…,D_r D 1 , … , D r
初等因子：不变因子的准素因子全体（1 不计入）
不变因子和行列式因子互相决定：D k = ∏ i = 1 k d i , d k = D k D k − 1 D_k=\prod_{i=1}^k d_i,\ d_k=\frac{D_k}{D_{k-1}} D k = ∏ i = 1 k d i , d k = D k − 1 D k
对于数字矩阵，其三种基本因子指的是λ I − A \lambda I-A λ I − A 从初等因子求 Jordan 标准型
J = [ J ( p 1 k 1 ) ⋱ J ( p s k s ) ]
J=\begin{bmatrix}J\left(p_1^{k_1}\right)&&\\&\ddots&\\&&J\left(p_s^{k_s}\right)\end{bmatrix}
J = J ( p 1 k 1 ) ⋱ J ( p s k s ) Gram-Schmidt 正交化
设A = [ v 1 v 2 ⋯ v n ] A=\begin{bmatrix}v_1&v_2&\cdots&v_n\end{bmatrix} A = [ v 1 v 2 ⋯ v n ] Q = [ w 1 w 2 ⋯ w n ] Q=\begin{bmatrix}w_1&w_2&\cdots&w_n\end{bmatrix} Q = [ w 1 w 2 ⋯ w n ]
w 1 = v 1 , w k = v k − ∑ j = 1 k − 1 ⟨ w j , v k ⟩ ⟨ w j , w j ⟩ w j , k = 2 , … , n
w_1=v_1,\qquad
w_k=v_k-\sum_{j=1}^{k-1}\frac{\langle w_j,v_k\rangle}{\langle w_j,w_j\rangle}w_j,
\quad k=2,\dots,n
w 1 = v 1 , w k = v k − j = 1 ∑ k − 1 ⟨ w j , w j ⟩ ⟨ w j , v k ⟩ w j , k = 2 , … , n 上学期的内容，不过多赘述
规范方阵谱分解
求出规范方阵 A A A U − 1 A U = d i a g ( λ 1 , ⋯ , λ n ) U^{-1}AU=diag(\lambda_{1},\cdots,\lambda_n) U − 1 A U = d ia g ( λ 1 , ⋯ , λ n ) 求出K e r ( λ i I − A ) Ker(\lambda_iI-A) Ker ( λ i I − A ) 将上一步得到的所有向量排列起来，即得到酉方阵U U U Jordan 标准型的应用和可对角化条件
设 A A A
A A A C \mathbb{C} C A A A A A A A A A A A A ∀ c ∈ C , r a n k ( c I − A ) = r a n k ( ( c I − A ) 2 ) \forall c\in\mathbb{C},rank(cI-A)=rank\left((cI-A)^2\right) ∀ c ∈ C , r ank ( c I − A ) = r ank ( ( c I − A ) 2 ) 此外，以上命题的一个充分条件是f ( λ ) f(\lambda) f ( λ )
Last updated on 2026-06-16
Loading comments…
Comments failed to load. Disqus may be blocked on your network.